Monte-Carlo-Simulation

Die methodischen Grundlagen der Monte-Carlo-Simulation wurden Mitte des 20. Jahrhunderts im Umfeld der statistischen Physik und der Kernforschung entwickelt. Der Name verweist auf das Glücksspiel und das Fürstentum Monaco als Sinnbild für Zufall und Wahrscheinlichkeit. In der Folge etablierte sich das Verfahren als universell einsetzbares Werkzeug in Wissenschaft, Technik und angewandter Statistik.

Im Unterschied zu deterministischen Simulationsverfahren berücksichtigt die Monte-Carlo-Simulation explizit zufällige Variabilität. Von analytischen Näherungsverfahren unterscheidet sie sich dadurch, dass keine geschlossenen Lösungsformeln erforderlich sind.

Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren sind eine spezielle Unterklasse, bei der die Stichprobenziehung aus einer Zielverteilung mithilfe einer Markov-Kette erfolgt und primär der Schätzung komplexer Wahrscheinlichkeitsverteilungen dient.

Vom Bootstrapping unterscheidet sich die Monte-Carlo-Simulation dadurch, dass keine empirisch beobachteten Daten resampelt werden, sondern theoretisch definierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Modellparameter zugrunde liegen.

Das Grundprinzip der Monte-Carlo-Simulation besteht darin, Zufallszahlen aus vorab definierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu generieren und als Eingangsgrößen in ein mathematisches oder algorithmisches Modell einzuspeisen. Jeder Simulationsdurchlauf repräsentiert eine mögliche Realisierung des betrachteten Systems. Durch eine große Anzahl unabhängiger Wiederholungen lassen sich statistische Kenngrößen wie Erwartungswerte, Streuungsmaße, Konfidenzintervalle oder Eintrittswahrscheinlichkeiten abschätzen.

Zunächst werden die relevanten Modellparameter identifiziert und geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilungen festgelegt. Anschließend erfolgt die wiederholte zufallsbasierte Stichprobenziehung und Modellberechnung. Die Genauigkeit der Ergebnisse nimmt mit der Anzahl der Simulationsdurchläufe gemäß dem Gesetz der großen Zahlen zu. Die Simulationsergebnisse werden abschließend statistisch ausgewertet und interpretiert.

Die Monte-Carlo-Simulation findet Anwendung in zahlreichen Disziplinen. In der Medizin und Biologie wird sie zur Modellierung biologischer Prozesse, zur Abschätzung diagnostischer und prognostischer Unsicherheiten sowie zur Bewertung therapeutischer Strategien eingesetzt. Ein wichtiges Einsatzgebiet ist die Weitergabe von Unsicherheiten: die Variabilität der Eingangsparameter wird gezielt berücksichtigt und auf die Ergebnisse des Modells übertragen, um zu zeigen, wie stark sie diese beeinflussen.

In der medizinischen Statistik dient die Monte-Carlo-Simulation der Untersuchung statistischer Verfahren, etwa im Rahmen von Power-Analysen, Sensitivitätsanalysen oder der Simulation komplexer Studiendesigns. Sie kann verwendet werden, um Bias und Varianz von geschätzten Parametern zu quantifizieren.

Weitere Einsatzfelder umfassen die Physik, Ingenieurwissenschaften, Finanzmathematik, Informatik und die Gesundheitsökonomie. Besonders geeignet ist das Verfahren für hochdimensionale, nicht-lineare Modelle mit stochastischen Einflüssen.

Bei einer medikamentösen Behandlung kann simuliert werden, wie sich unterschiedliche Patienteneigenschaften wie Körpergewicht, Stoffwechselrate oder Dosierung auf die Wirkstoffkonzentration im Blut auswirken. Durch viele zufällige Simulationsdurchläufe kann abgeschätzt werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit wirksame Konzentrationen erreicht werden oder Nebenwirkungen auftreten.

Ein wesentlicher Vorteil der Monte-Carlo-Simulation liegt in ihrer Flexibilität. Sie erlaubt die Analyse komplexer Systeme mit beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Wechselwirkungen sowie eine explizite Quantifizierung von Unsicherheiten.

Demgegenüber steht ein teils erheblicher Rechenaufwand, insbesondere bei hochdimensionalen Modellen oder sehr großer Anzahl an Simulationen. Zudem hängen die Ergebnisse wesentlich von den getroffenen Modellannahmen ab. Eine häufige Fehlerquelle besteht in der unkritischen Übernahme von Verteilungsannahmen, die empirisch nicht ausreichend begründet sind und zu verzerrten oder instabilen Resultaten führen können.

• Metropolis und Ulam, The Monte Carlo method, Journal of the American Statistical Association, 1949