Varianz

Zur Berechnung der Varianz wird zwischen jedem Messwert und dem Mittelwert die Differenz gebildet und dieser Wert quadriert. Diese Werte werden summiert und anschließend durch die Grundgesamtheit (N) oder die korrigierte Stichprobengröße (n–1; Bessel-Korrektur) geteilt. Die Varianz kann daher als (korrigierter) Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert verstanden werden.

Die Varianz einer gesamten Population, bei der alle Werte bekannt sind, ist definiert als:

$${\displaystyle {\sigma }^2=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i=1}^N}(x_i-\mu {)}^2}$$

wobei:

• σ² = Varianz
• N = Grundgesamtheit
• x_i = einzelner Messwert
• μ = Populationsmittelwert

Wird die Varianz aus einer Stichprobe berechnet, lautet die Formel folgendermaßen:

$${\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}(x_i-\overline{x}{)}^2}$$

wobei:

• s² = Varianz
• n = Stichprobengröße
• x_i = einzelner Messwert
• ${\displaystyle \overline{x}}$ = Mittelwert

Die Varianz gibt an, wie stark die Messwerte um den Mittelwert streuen. Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Werte eng um den Mittelwert gruppiert sind, während eine große Varianz auf eine breite Streuung der Daten hinweist. In der medizinischen Forschung ermöglicht der Vergleich von Varianzen zwischen verschiedenen Gruppen Rückschlüsse auf die Homogenität oder Heterogenität von Patientenkollektiven.

Das Quadrieren verhindert, dass sich positive und negative Abweichungen aufheben. Dadurch ist die Varianz jedoch in einer schwer interpretierbaren quadratischen Einheit, was den direkten Vergleich mit den Originalwerten erschwert. Deshalb wird aus dem Resultat meist noch die Wurzel gezogen – das Ergebnis ist die Standardabweichung s, welche die gleiche Einheit wie der Mittelwert trägt.

Die Varianz steht in engem Zusammenhang mit anderen statistischen Kenngrößen. Die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz ist das gebräuchlichste Streuungsmaß, da sie dieselbe Einheit wie die Messwerte besitzt.

Der Variationskoeffizient setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert und ermöglicht den Vergleich der relativen Streuung verschiedener Messgrößen.

Die Kovarianz erweitert das Konzept auf zwei Variablen und misst deren gemeinsame Streuung.

In der Varianzanalyse (ANOVA) werden Varianzen zwischen und innerhalb von Gruppen verglichen, um signifikante Unterschiede zu identifizieren.

• Köhler et al., Biostatistik: Eine Einführung für Biologen und Agrarwissenschaftler, 4., aktualisierte und erweiterte Auflage, 2002
• Horstmann, Mathematik für Biologen, 2., überarbeitete und ergänzte Auflage, 2016