Kruskal-Wallis-Test

Der Kruskal-Wallis-Test basiert auf der Idee, dass sämtliche Beobachtungswerte über alle Gruppen hinweg gemeinsam gerankt werden. Die Prüfgröße ergibt sich aus den Rangsummen der einzelnen Gruppen. Weichen diese stärker voneinander ab, als es unter der Annahme identischer Verteilungen zu erwarten wäre, spricht dies für einen signifikanten Gruppenunterschied. Der Kruskal-Wallis-Test erweitert damit das Prinzip des Mann-Whitney-U-Tests auf mehr als zwei Gruppen.

Alle Messwerte werden gruppenübergreifend sortiert und in Ränge überführt; bei Gleichständen erfolgt die Vergabe von Mittelrängen. Für jede Gruppe werden anschließend die Rangsummen gebildet.

Die Prüfgröße H lautet in der klassischen Form:

$${\displaystyle H={12 \over N(N+1)}\sum _{i=1}^{k}{R_{i}^{2} \over n_{i}}-3(N+1)}$$

• ${\displaystyle N}$: Gesamtzahl aller Beobachtungen
• ${\displaystyle k}$: Anzahl der Gruppen
• ${\displaystyle n_{i}}$​: Stichprobengröße der i-ten Gruppe
• ${\displaystyle R_{i}}$​: Rangsummen der i-ten Gruppe

Unter der Nullhypothese folgt H näherungsweise einer Chi-Quadrat-Verteilung:

$${\displaystyle df=k-1}$$

Ein signifikanter p-Wert weist darauf hin, dass mindestens eine Gruppe von den übrigen abweicht. Der Test zeigt nur, dass sich die Gruppen insgesamt unterscheiden. Er sagt jedoch nicht, welche Gruppen voneinander abweichen, oder in welcher Richtung der Unterschied besteht. Daher sind bei einem signifikanten Ergebnis Post-hoc-Analysen notwendig, wie zum Beispiel der Dunn-Test. Sie ermöglichen es, die konkreten Gruppenunterschiede zu bestimmen.

Vorausgesetzt werden unabhängig voneinander gezogene Stichproben sowie mindestens ordinalskalierte Messwerte. Eine Normalverteilung der Daten ist nicht erforderlich. Die Gruppen sollten hinsichtlich ihrer Verteilungsform möglichst ähnlich sein, damit Unterschiede in den Rängen als Lageunterschiede interpretierbar bleiben. Starke Unterschiede in Form oder Streuung können die Interpretation erschweren.

Der Test findet breite Anwendung in der Medizin, Psychologie, Epidemiologie, Biologie und den Sozialwissenschaften. Er eignet sich insbesondere für Untersuchungen mit ordinalen Ratings, schief verteilten metrischen Variablen oder robusten Analysen, wenn Ausreißer parametrische Tests beeinträchtigen würden. Typische Fragestellungen betreffen Gruppenvergleiche in klinischen Studien, Laboranalysen oder Fragebogenuntersuchungen.

• Kruskal und Wallis, Use of Ranks in One-Criterion Variance Analysis, Journal of the American Statistical Association, 1952