Chi-Quadrat-Test

Der Chi-Quadrat-Test zählt zu den grundlegenden Verfahren der schließenden Statistik und wird insbesondere bei nominal oder ordinalskalierten Variablen eingesetzt. Aufgrund seiner vergleichsweise geringen Voraussetzungen findet er breite Anwendung in der medizinischen Forschung, Epidemiologie und Psychologie, etwa bei der Auswertung von Kontingenztafeln in klinischen Studien oder Beobachtungsstudien.

Ziel des Chi-Quadrat-Tests ist es, statistisch zu prüfen, ob eine beobachtete Häufigkeitsverteilung signifikant von einer theoretisch erwarteten Verteilung abweicht oder ob zwischen zwei kategorialen Variablen ein statistischer Zusammenhang besteht.

Die Teststatistik folgt unter der Nullhypothese asymptotisch einer Chi-Quadrat-Verteilung und berechnet sich als

$${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{(O_{i}-E_{i})^{2} \over E_{i}}}$$

Dabei bezeichnet O_i​ die beobachtete und E_i die erwartete Häufigkeit der i-ten Kategorie, k die Anzahl der Kategorien.

Bei Kontingenztafeln ergeben sich die erwarteten Zellhäufigkeiten zu

$${\displaystyle E_{ij}={R_{i}\cdot C_{j} \over n}}$$

wobei R_i​ die Zeilensumme der i-ten Zeile, C_j​ die Spaltensumme der j-ten Spalte und n die Gesamtstichprobe bezeichnet.

Die Freiheitsgrade betragen

– beim Unabhängigkeitstest in einer r x c-Tafel:

$${\displaystyle df=(r-1)(c-1)}$$

– beim Anpassungstest:

$${\displaystyle df=k-1}$$

Werden Parameter der erwarteten Verteilung aus den Daten geschätzt, reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade entsprechend.

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob eine empirische Häufigkeitsverteilung mit einer theoretisch vorgegebenen Verteilung übereinstimmt.

Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest untersucht, ob zwei kategoriale Variablen statistisch unabhängig voneinander sind. Die Auswertung erfolgt typischerweise anhand einer Kontingenztafel.

Für eine valide Anwendung des Chi-Quadrat-Tests müssen mehrere Bedingungen erfüllt sein. Die Daten müssen als absolute Häufigkeiten vorliegen, die Beobachtungen voneinander unabhängig sein und die Kategorien sich gegenseitig ausschließen. Zudem sollten die erwarteten Zellhäufigkeiten ausreichend groß sein. Als gängige Faustregel gilt, dass keine erwartete Häufigkeit kleiner als 1 sein sollte und höchstens 20 % der Zellen erwartete Häufigkeiten unter 5 aufweisen dürfen. Werden diese Voraussetzungen verletzt, ist die Approximation an die Chi-Quadrat-Verteilung unzuverlässig.

Ein statistisch signifikanter Chi-Quadrat-Test spricht gegen die Nullhypothese und weist darauf hin, dass die beobachteten Abweichungen mit geringer Wahrscheinlichkeit zufallsbedingt sind. Der Test selbst erlaubt jedoch keine Aussage über Richtung oder Stärke eines Zusammenhangs. Zur quantitativen Bewertung werden daher Effektstärkemaße herangezogen, insbesondere der Phi-Koeffizient bei 2×2-Tabellen und Cramérs V bei größeren Kontingenztafeln. Zur Identifikation der Zellen, die maßgeblich zur Teststatistik beitragen, können standardisierte Residuen ausgewertet werden.

Der Chi-Quadrat-Test ist stichprobenabhängig. Bei großen Stichproben können bereits geringe Abweichungen statistisch signifikant werden, während bei kleinen Stichproben relevante Effekte möglicherweise unentdeckt bleiben. Zudem ist der Test ausschließlich für kategoriale Daten geeignet und reagiert sensibel auf kleine erwartete Häufigkeiten. Die in 2×2-Tabellen teils verwendete Kontinuitätskorrektur nach Yates gilt als konservativ und wird nicht einheitlich empfohlen.

Bei kleinen erwarteten Zellhäufigkeiten, insbesondere in 2×2-Kontingenztafeln, stellt der exakte Fisher-Test eine geeignete Alternative dar. Beim Anpassungstest können exakte Binomial- oder Multinomialtests sinnvoll sein. Für ordinalskalierte Daten kommen rang- oder trendbasierte Verfahren in Betracht.

• Bortz und Schuster, Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler, 7. Auflage, Springer, 2010