Stokes-Gleichung

Die Stokes-Gleichung lautet wie folgt:

Die Formel leitet sich von folgenden Gleichungen ab:

• Gesetz von Stokes, das die Reibung einer Kugel beschreibt, die sich in einer Flüssigkeit bewegt: F_R = 6*π*η*r*v
• Gewichtskraft: F_G = 4/3 * π*r³*ρ_K*g
• Auftriebskraft in der Flüssigkeit. Sie entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge: F_A = 4/3 * π*r³*ρ_D*g

Es wird der Gleichgewichtszustand einer Kugel im Medium betrachtet. Die Reibungskraft und Auftriebskraft wirken nach oben, die Gewichtskraft nach unten. Es wird die Bedingung F_R + F_A = F_G aufgestellt, obige Formeln eingesetzt und nach der Geschwindigkeit aufgelöst.

Um die Formeln anwenden zu können, wurden idealisierte Bedingungen angenommen:

• Der Feststoff ist eine ideale Kugel.
• Die Flüssigkeit ist ein Newtonsches Fluid.
• Es liegt eine laminare Strömung vor. Turbulenzen treten nicht auf. Deshalb gilt die Stokes-Gleichung nur für Flüssigkeiten mit einer Reynolds-Zahl von 0,2 bis 0,5.

Da diese Bedingungen in der Realität nicht anzutreffen sind, weicht die gemessene Sedimentationsgeschwindigkeit minimal von der errechneten ab. Für medizinische Anwendung sind diese Abweichungen jedoch in der Regel irrelevant.

Über die Stokes-Gleichung lässt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit sphärischer Partikel beschreiben. Diese ist abhängig von dem/der

• Partikelradius
• Dichteunterschied zwischen Feststoffpartikel und Flüssigkeit
• Erdbeschleunigung
• Viskosität der Flüssigkeit

Durch Änderung dieser Parameter können disperse Arzneiformen wie Suspensionen und Emulsionen stabilisiert werden, da bei ihnen die Sedimentation bzw. Aufrahmung ein wichtiger Faktor ist, der die Stabilität und somit Haltbarkeit beeinflusst. Durch Verringerung der Teilchengröße, Viskositätserhöhung oder Anpassung der Dichte der Flüssigkeit kann die Stabilität verbessert werden.

Auch in der Entwicklung von inhalativen Arzneiformen spielt das Stokes-Gesetz eine Rolle. Hier wird die aerodynamisch äquivalente Kugel definiert, um den Durchmesser einer Kugel mit der Dichte von 1 g/cm³ zu berechnen, die in der Luft dieselbe Sinkgeschwindigkeit hat, wie der tatsächlich vorliegende Partikel ("aerodynamischer Durchmesser"). Auch die Stokes-äquivalente Kugel kann definiert werden, um den Durchmesser einer Kugel mit derselben Dichte wie das betrachtete Partikel zu berechnen, welche dieselbe Sedimentationsgeschwindigkeit aufweist. Über diese modellhaften Vereinfachungen wird die Berechnung, grafische Darstellung und Optimierung inhalativer Arzneiformen erleichtert. Außerdem wird über Messmethoden zur Partikelgrößenbestimmung von Aerosolen (Impaktoren) nicht der tatsächliche Durchmesser, sondern der aerodynamische Durchmesser bestimmt.

• Bestimmung des Sedimentationskonstanten. Diese beschreibt die Sedimentationsgeschwindigkeit in einem genormten Gravitationsfeld, das im Labor durch eine Zentrifuge gewährleistet wird. Sie wird in Svedberg (S) angegeben und dient zur Beschreibung von Makromolekülen und Zellorganellen wie Ribosomen.
• Bestimmung der Viskosität in einem Kugelfallviskosimeter: Unter normierten Bedingungen wird eine Kugel in einem flüssigen Medium fallengelassen. Über die ermittelte Sedimentationsgeschwindigkeit wird die Viskosität bestimmt.

• Bauer, Frömmig, Führer: Pharmazeutische Technologie. Mit Einführung in die Biopharmazie. 10. Auflage, Stuttgart 2017