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Stokes'sche Gleichung

Synonyme: Stoke'sches Gesetz, Sedimentationsgesetz
Englisch: stoke's equation

1 Definition

Die Stoke'sche Gleichung ist eine Formel zur Berechnung der Sedimentationsgeschwindigkeit sphärischer Körper. Sie ist benannt nach Sir George Gabriel Stokes.

2 Formel

Die Stokes'sche Gleichung lautet wie folgt:

Formel
v = 2/9 × [(ρKD) × r2g] / η
mit:
v = Sedimentationsgeschwindigkeit
ρK = Dichte der Feststoffes
ρD = Dichte der Flüssigkeit
r = Radius der Feststoffkugel
g = Erdbeschleunigung
η = Viskosität der Flüssigkeit

Die Herleitung erfolgt ausgehend folgender Gleichungen:

  • Gesetzes von Stokes, welches die Reibung einer Kugel beschriebt, die sich in einer Flüssigkeit bewegt: FR = 6*π*η*r*v
  • Gewichtskraft: FG = 4/3 * π*r3K*g
  • Auftriebskraft in der Flüssigkeit. Sie entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge: FA = 4/3 * π*r3D*g

Es wird der Gleichgewichtszustand einer Kugel im Medium betrachtet: Die Reibungskraft und Auftriebskraft wirken nach oben; die Gewichtskraft nach unten. Es wird die Bedingung FR + FA = FG aufgestellt, obige Formeln eingesetzt und nach der Geschwindigkeit aufgelöst.

Um die Formeln anwenden zu können, wurden idealisierte Bedingungen angenommen:

  • Der Feststoff ist eine ideale Kugel
  • Die Flüssigkeit ist ein Newtonsches Fluid
  • Es liegt eine laminare Strömung vor; Turbulenzen treten nicht auf. Deshalb gilt die Stokes'sche Gleichung nur für Flüssigkeiten mit einer Reynolds-Zahl von 0,2 bis 0,5.

Da diese Bedingungen in der Realität nicht anzutreffen sind, weicht die gemessene Sedimentationsgeschwindigkeit minimal von der errechneten ab. Für medizinische Anwendung sind diese Abweichungen jedoch in der Regel irrelevant.

3 Aussage und Anwendung in der Entwicklung von Arzneiformen

Über die Stokes'sche Gleichung lässt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit sphärischer Partikel beschreiben. Diese ist abhängig von:

Durch Änderung dieser Parameter können disperse Arzneiformen wie Suspensionen und Emulsionen stabilisiert werden, da bei ihnen die Sedimentation (bzw. Aufrahmung) ein wichtiger Faktor ist, welcher die Stabilität und somit Haltbarkeit beeinflusst. Durch Verringerung der Teilchengröße, Viskositätserhöhung oder Anpassung der Dichte der Flüssigkeit kann die Stabilität verbessert werden.

Auch in der Entwicklung von inhalativen Arzneiformen spielt das Stokes'sche Gesetz eine Rolle. Es wird hierbei die aerodynamisch äquivalente Kugel definiert, um den Durchmesser einer Kugel mit der Dichte von 1 g/cm3 zu berechnen, die in der Luft dieselbe Sinkgeschwindigkeit hat wie der tatsächlich vorliegende Partikel ("aerodynamischer Durchmesser"). Auch die Stokes-äquivalente Kugel kann definiert werden, um den Durchmesser einer Kugel mit derselben Dichte wie dem betrachteten Partikel zu berechnen, welche dieselbe Sedimentationsgeschwindigkeit aufweist. Über diese modellhaften Vereinfachungen wird die Berechnung, grafische Darstellung und Optimierung inhalativer Arzneiformen erleichtert. Außerdem wird über Messmethoden zur Partikelgrößenbestimmung von Aerosolen (Impaktoren) nicht der tatsächliche Durchmesser, sondern der aerodynamische Durchmesser bestimmt.

4 weitere Anwendungen

  • Bestimmung des Sedimentationskonstanten. Diese beschreibt die Sedimentationsgeschwindigkeit in einem genormten Gravitationsfeld, welches im Labor durch eine Zentrifuge gewährleistet wird. Sie wird in Svedberg (S) angegeben und dient zur Beschreibung von Makromolekülen und Zellorganellen wie Ribsomen.
  • Bestimmung der Viskosität in einem Kugelfallviskosimeter: Unter normierten Bedingungen wird eine Kugel in einem flüssigen Medium fallengelassen. Über die ermittelte Sedimentationsgeschwindigkeit wird die Viskosität bestimmt.

5 Literatur

  • Bauer, Frömmig, Führer: Pharmazeutische Technologie. Mit Einführung in die Biopharmazie. 10. Auflage, Stuttgart 2017

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