SIS-Modell

Das SIS-Modell kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

• Jedes Individum geht nach der Heilung sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden
• Infizierte sind sofort ansteckend
• Gesunde erkranken mit der linearen Rate c
• Infizierte genesen mit der linearen Rate ω
• Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit

Diese Voraussetzungen gelten weitestgehend für Erkrankungen wie Syphilis, Gonorrhoe, Typhus und Cholera.

Das SIS-Modell unterscheidet zwischen zwei Gruppen:

• Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
• Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
• Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t)
• S(t) bzw. I(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", S(0) bzw. I(0) für die Population zu Beginn der Epidemie.
• Der Indexpatient wird entsprechend als I(0) = 1 definiert.

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird in Form von Differentialgleichungen modelliert:

• ΔS/Δt = - cIS + ωI
• ΔI/Δt = cIS - ωI

Für die Erhaltung der Populationsgröße folgt:

• ΔN/Δt = 0
• N = I(t) + S(t) = const.

Durch Umstellung lässt sich das SIS-Modell wie folgt beschreiben:

• ΔI/Δt = cI (N - I) - ωI = (cN - ω)I - cI²
• Wenn A = cN - ω, dann: ΔI/Δt = I x (A - cI)

Die Funktionen I(t) und S(t) lassen sich anhand folgenden Formeln lösen:

• I(t) = [AI(0) e^At] / [A + cI(O) (e^AT - 1)]
• S(t) = N - I(t)

• SIR-Modell: Individuen können immun werden oder versterben
• SI-Modell: Ansteckung ohne Gesundung
• SEIR-Modell: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind

• Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712