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SIS-Modell

1 Definition

Das SIS-Modell beschreibt in der mathematischen Epidemiologie die Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung, wenn keine dauerhafte Immunität erworben wird. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das die Population in verschiedene Untergruppen einteilt.

2 Voraussetzungen

Das SIS-Modell kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

  • Jedes Individum geht nach der Heilung sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden
  • Infizierte sind sofort ansteckend
  • Gesunde erkranken mit der linearen Rate c
  • Infizierte genesen mit der linearen Rate ω
  • Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit

Diese Voraussetzungen gelten weitestgehend für Erkrankungen wie Syphilis, Gonorrhoe, Typhus und Cholera.

3 Kompartimente

Das SIS-Modell unterscheidet zwischen zwei Gruppen:

  • Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
  • Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
  • Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t)
  • S(t) bzw. I(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", S(0) bzw. I(0) für die Population zu Beginn der Epidemie.
  • Der Indexpatient wird entsprechend als I(0) = 1 definiert.

4 Berechnungen

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird in Form von Differentialgleichungen modelliert:

  • ΔS/Δt = - cIS + ωI
  • ΔI/Δt = cIS - ωI

Für die Erhaltung der Populationsgröße folgt:

  • ΔN/Δt = 0
  • N = I(t) + S(t) = const.

Durch Umstellung lässt sich das SIS-Modell wie folgt beschreiben:

  • ΔI/Δt = cI (N - I) - ωI = (cN - ω)I - cI2
  • Wenn A = cN - ω, dann: ΔI/Δt = I x (A - cI)

Die Funktionen I(t) und S(t) lassen sich anhand folgenden Formeln lösen:

  • I(t) = [AI(0) eAt] / [A + cI(O) (eAT - 1)]
  • S(t) = N - I(t)

5 Varianten

  • SIR-Modell: Individuen können immun werden oder versterben
  • SI-Modell: Ansteckung ohne Gesundung
  • SEIR-Modell: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind

6 Literatur

  • Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712

Diese Seite wurde zuletzt am 10. April 2020 um 20:24 Uhr bearbeitet.

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