SIS-Modell

1. Definition

Das SIS-Modell beschreibt in der mathematischen Epidemiologie die Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung, wenn keine dauerhafte Immunität erworben wird. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das die Population in verschiedene Untergruppen einteilt.

Das SIS-Modell kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

Jedes Individum geht nach der Heilung sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden
Infizierte sind sofort ansteckend
Gesunde erkranken mit der linearen Rate c
Infizierte genesen mit der linearen Rate ω
Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit

Diese Voraussetzungen gelten weitestgehend für Erkrankungen wie Syphilis, Gonorrhoe, Typhus und Cholera.

Das SIS-Modell unterscheidet zwischen zwei Gruppen:

Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t)
S(t) bzw. I(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", S(0) bzw. I(0) für die Population zu Beginn der Epidemie.
Der Indexpatient wird entsprechend als I(0) = 1 definiert.

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird in Form von Differentialgleichungen modelliert:

Für die Erhaltung der Populationsgröße folgt:

Durch Umstellung lässt sich das SIS-Modell wie folgt beschreiben:

Die Funktionen I(t) und S(t) lassen sich anhand folgenden Formeln lösen:

SIR-Modell: Individuen können immun werden oder versterben
SI-Modell: Ansteckung ohne Gesundung
SEIR-Modell: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind

Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712