SIR-Modell

Das SIR-Modell beschreibt in der mathematischen Epidemiologie die Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das die Population in verschiedene Untergruppen einteilt.

Das SIR-Modell ist eine Erweiterung des SI-Modells. Es kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

• Jedes Individuum kann nur einmal infiziert werden und wird danach immun oder stirbt.
• Infizierte sind sofort ansteckend.
• Gesunde erkranken mit der linearen Rate β.
• Infizierte genesen mit der linearen Rate γ.
• Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit.

Das SIR-Modell unterscheidet zwischen drei Gruppen:

• Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
• Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
• Die Gruppe "R" ("removed individuals"): Personen, die nicht mehr infiziert werden können (immun oder verstorben)
• Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t) + R(t)
• S(t), I(t) oder R(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", z.B. I(0) für die Infizierten zu Beginn der Epidemie.
• Der Indexpatient wird also als I(0) = 1 definiert.

Als µ wird die allgemeine Sterberate pro Person einer Population und als ν die Geburtsrate pro Person einer Population bezeichnet.

• ΔS/Δt = νN - β (SI/N) - γS
• ΔI/Δt = β (SI/N) - γI - µI
• ΔR/Δt = γI - µR

Da β von der Wahrscheinlichkeit einer Infektionsübertragung bei Kontakt q und mit der Kontaktrate κ abhängt, gilt:

• β = q κ

Die Infektionsrate λ, also die Wahrscheinlichkeit pro Zeit, dass eine Gesunde Person infiziert wird, ist:

• λ = β I/N
• Also werden λS Personen pro Zeiteinheit infiziert.

Wenn die Geburts- und Sterberaten konstant sind (µ = ν = 0) ergeben sich folgende Gleichungen:

• ΔS/Δt = - β SI/N
• ΔI/Δt = β (SI/N) - γI
• ΔR/Δt = γI

Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die Basisreproduktionszahl:

• R₀ = β / γ

Sie gibt an, wie viele weitere Infizierte eine infizierte Person am Anfang der Epidemie (also wenn kein Mitglied der Population immun ist) verursacht. Sobald S den Wert von δ = N/R₀ unterschreitet, nimmt das Wachstum der Infizierten ab (Abflauen der Epidemie). Der Wert δ ist bei einer R₀ von 2 ungefähr bei der Hälfte, bei R₀ von 3 bei zwei Drittel der Bevölkerung erreicht.

SIR-Modelle lassen sich gut für die Modellierung von Erkrankungen anwenden, bei denen im Laufe der Infektion eine Immunität erreicht wird, was z.B. für viele Virusinfekte gilt.

Mit Hilfe des SIR-Modells lässt sich auch vorhersagen, ob eine Infektionserkrankung voraussichtlich in einer Epidemie münden wird.

• SI-Modell: Ansteckung ohne Gesundung
• SIS-Modell: Ausbreitung ohne Immunitätsbildung
• SEIR-Modell: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, Infizierte sind nicht sofort infektiös
• SIRD-Modell: berücksichtigt die immunen und die verstorbenen Personen in zwei separaten Gruppen

• Robeva RS et al. An Invitation to Biomathematics, Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008, ISBN 9780120887712
• Bazett T. The MATH of Epidemics, Intro to the SIR Model, Video, 11. März 2020.