Hauptkomponentenanalyse

In medizinischen, psychologischen und biowissenschaftlichen Datensätzen treten häufig hochdimensionale Variablenstrukturen mit Redundanzen und Multikollinearität auf. Die Hauptkomponentenanalyse dient dazu, solche komplexen Datenstrukturen übersichtlich darzustellen, dominante Muster zu identifizieren und die Datenbasis für explorative Analysen sowie weiterführende statistische Verfahren zu vereinfachen. Sie findet Anwendung unter anderem in der klinischen Forschung, der Epidemiologie, der Bildgebung, der Genomforschung sowie der Psychometrie.

Die Hauptkomponentenanalyse beruht auf Methoden der linearen Algebra. Ausgangspunkt ist die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ der beobachteten Variablen oder – bei zuvor standardisierten Variablen – die Korrelationsmatrix. Vereinfacht ausgedrückt beschreibt jede Hauptkomponente eine neue Achse im Merkmalsraum, entlang der die Daten möglichst stark streuen.

Die Hauptkomponenten ergeben sich aus der Eigenwertzerlegung dieser Matrix:$${\displaystyle \Sigma v_k={\lambda }_k{v}_k}$$Dabei bezeichnet v_k den Eigenvektor der k-ten Hauptkomponente und λ_k​ den zugehörigen Eigenwert. Der Eigenvektor definiert die Richtung der Hauptkomponente im Merkmalsraum, während der Eigenwert angibt, welcher Anteil der Gesamtvarianz durch diese Komponente erklärt wird. Die eigentlichen Hauptkomponenten ergeben sich als lineare Kombinationen der ursprünglichen Variablen:$${\displaystyle P{C}_k=v_{k1}{x}_1+v_{k2}{x}_2+\mathrm{...}+v_{kp}{x}_p}$$Die Orthogonalität der Eigenvektoren stellt sicher, dass die einzelnen Hauptkomponenten untereinander unkorreliert sind.

In der praktischen Anwendung werden die Ausgangsvariablen häufig vorab z-standardisiert, um Unterschiede in der Skalierung auszugleichen. Anschließend werden Eigenwerte und Eigenvektoren der Kovarianz- oder Korrelationsmatrix berechnet.

Die Anzahl der zu berücksichtigenden Hauptkomponenten kann anhand verschiedener Kriterien bestimmt werden, etwa des Kaiser-Kriteriums (Eigenwert > 1), eines Scree-Plots oder des kumulierten erklärten Varianzanteils. Die sogenannten Komponentenladungen beschreiben den Beitrag der ursprünglichen Variablen zu den einzelnen Hauptkomponenten und bilden die Grundlage für deren inhaltliche Interpretation.

Die Interpretation der Hauptkomponenten erfordert stets fachliche Kenntnisse. Jede Hauptkomponente stellt eine lineare Kombination der Originalvariablen dar. Sie ist nicht zwangsläufig eindeutig inhaltlich interpretierbar. Hohe positive oder negative Ladungen einzelner Variablen liefern Hinweise auf den semantischen Gehalt einer Komponente.

Da es sich um ein exploratives, datengetriebenes Verfahren handelt, lassen sich aus der Hauptkomponentenanalyse keine Kausalzusammenhänge ableiten.

In der Medizin und Psychologie wird die Hauptkomponentenanalyse unter anderem zur Strukturaufklärung von Fragebögen, zur Reduktion bildgebender oder laborchemischer Parameter sowie zur explorativen Mustererkennung eingesetzt. Darüber hinaus dient sie der Visualisierung hochdimensionaler Datensätze und der Vorbereitung prädiktiver oder klassifikatorischer Modelle.

Die Hauptkomponentenanalyse ist von der Faktorenanalyse abzugrenzen. Während beide Verfahren der Dimensionsreduktion dienen, basiert die Faktorenanalyse auf einem expliziten latenten Variablenmodell und berücksichtigt Fehlervarianzen. Die PCA hingegen modelliert ausschließlich die Gesamtvarianz der beobachteten Variablen ohne Annahmen über zugrunde liegende latente Konstrukte.

Zu den wesentlichen Limitationen zählen die lineare Natur des Verfahrens sowie die potenziell eingeschränkte Interpretierbarkeit der Hauptkomponenten. Eine starke Varianzreduktion kann mit dem Verlust inhaltlich relevanter Information einhergehen. Zudem ist die Hauptkomponentenanalyse sensitiv gegenüber Ausreißern und setzt in der Regel mindestens intervallskalierte Variablen voraus.

• Jolliffe IT, Cadima J. Principal component analysis: a review and recent developments. Philos Trans A Math Phys Eng Sci. 2016;374(2065):20150202. doi:10.1098/rsta.2015.0202
• IBM. What is principal component analysis (PCA)? IBM Documentation.