Hagen-Poiseuille-Gesetz

Die Formel des Hagen-Poiseuille-Gesetz lautet:

${\displaystyle \dot{V}=\frac{V}{t}=\frac{\pi \cdot r^4\cdot \Delta P}{8\cdot \eta \cdot l}}$

mit

• V = Volumen [l]
• t = Zeit [s]
• V/t = Volumenstrom [l/s]
• r = Innenradius des Rohres [m]
• ΔP = Druckdifferenz zwischen den beiden Enden des betrachteten Rohrabschnittes
• η = dynamische Viskosität ("eta") des Fluids
• l = Länge des betrachteten Rohrabschnittes

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille besagt u.a., dass der Volumenstrom (Volumen abgeleitet nach der Zeit) direkt proportional zur Druckdifferenz und zur 4. Potenz des Innenradius ist. Daher spricht man umgangssprachlich auch vom "r⁴-Gesetz".

Aus dem Gesetz lässt sich Folgendes ableiten:

• Verdoppelt man den Innenradius, so wächst die Stromstärke um den Faktor 2⁴ = 16. Halbiert man den Innenradius, so reduziert sich die Stromstärke um den Faktor (1/2)⁴ = 1/16.
• Der Widerstand steigt mit Zunahme der Viskosität η des Fluids und der Rohrlänge l, mit Zunahme des Radius r reduziert er sich um den Faktor der 4. Potenz.

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz gilt nur für Newton-Fluide und unter folgenden Bedingungen:

• stationäre, laminare Strömung
• inkompressibles Fluid
• starres, zylindrisches Rohr

Bei Überschreiten einer kritischen Reynolds-Zahl kommt es zum Übergang in eine turbulente Strömung, sodass das Hagen-Poiseuille-Gesetz nicht mehr anwendbar ist.

Das aus der Strömungslehre stammende Gesetz ist nur bedingt übertragbar auf Blutgefäße. Das Fluid ist das Blut, das allerdings keine Newton'sche Flüssigkeit ist. Blut ist eine inhomogene Suspension aus flüssigen und korpuskulären Bestandteilen, deren Viskosität η von weit mehr Faktoren abhängt, als nur von der Temperatur. Sie variiert zusätzlich in Abhängigkeit vom Hämatokrit und vom Plasmaproteingehalt sowie von den Strömungsbedingungen (siehe auch Virchow'sche Trias). Dennoch kann es annäherungsweise zur Berechnung der Hämodynamik herangezogen werden.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille demonstriert, dass sich bereits geringfügige Änderungen des Gefäßradius durch den Tonus der glatten Gefäßwandmuskulatur in hohem Maße auf die Durchblutung auswirken können.

Das Teilgebiet der Rheologie, das sich mit der Strömungsdynamik des Blutes befasst, ist die Hämorheologie.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille ist physikalisch eine Sonderform des Ohm'schen Gesetzes:

${\displaystyle U=R\cdot I}$ bzw. ${\displaystyle I=\frac{U}{R}}$

Dabei entspricht der Volumenstrom V/t der elektrischen Stromstärke I und die Druckdifferenz ΔP der elektrischen Spannung U. Der gesamte Rest der Formel definiert den Widerstand, der dem durchströmenden Fluid entgegengesetzt wird, und entspricht dem elektrischen Widerstand R. Genauer gesagt enthält das Hagen-Poiseuille-Gesetz den Kehrwert des Widerstandes, also den Leitwert G:

${\displaystyle \frac{r^4\cdot \pi }{8\cdot \eta \cdot l}=\frac{1}{R}=G}$ bzw. ${\displaystyle R=\frac{8\eta l}{r^4\pi }}$

Analog zeigt sich folgender Zusammenhang: Fluss = Triebkraft ÷ Widerstand.

${\displaystyle \stackrel{\text{Ohm'sches Gesetz: Elektrodynamik}}{\overbrace{\underset{\underset{\text{-stärke}}{\text{Strom-}}\text{ [A]}}{I}=\frac{\underset{\text{Spannung [Volt]}}{U}}{\underset{\text{Widerstand [Ohm]}}{R}}}}=\stackrel{\text{Hagen-Poiseuille-Gesetz: Fluiddynamik}}{\overbrace{\underset{\underset{\text{-strom}}{\text{Volumen-}}[\frac{m^3}{s}]}{\dot{V}}=\underset{=\underset{\text{Leitwert}}{G}=\frac{1}{R}}{\underbrace{\frac{\pi \cdot r^4}{8\cdot \eta \cdot l}}}*\underset{=U\phantom{\frac{d}{\eta }}}{\underbrace{\Delta P\phantom{\frac{\text{Ein Felix Knop Masterpiece}}{\eta }}}}\phantom{\frac{\underset{X}{X}}{\underset{X}{X}}}=\frac{\underset{\text{Volumen [m³]}}{V}}{\underset{\text{Zeit [s]}}{t}}=\underset{\text{Fläche [m²]}}{A}*\underset{\text{Geschw. [m/s]}}{\overrightarrow{v}}}}}$

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz besitzt eine große klinische Bedeutung für das Verständnis der Hämodynamik. Bereits geringe Änderungen des Gefäßdurchmessers, z.B. durch Vasokonstriktion oder Thrombusabscheidungen, führen zu erheblichen Veränderungen des Gefäßwiderstand und der Durchblutung.

Das Gesetz erklärt unter anderem die Wirkung vasoaktiver Arzneistoffe sowie die hämodynamischen Folgen von Gefäßstenosen. Es spielt auch bei der Wahl des richtigen Lumens von Kathetern und Kanülen für die Volumentherapie eine wichtige Rolle, da zu kleine Katheterdurchmesser die Volumengabe limitieren.