Hagen-Poiseuille-Gesetz

Die Formel des Hagen-Poiseuille-Gesetz lautet:

${\displaystyle {\dot {V}}={V \over t}={\frac {\pi \cdot r^{4}\cdot \Delta P}{8\cdot \eta \cdot l}}}$

mit

• V = Volumen [l]
• t = Zeit [s]
• V/t = Volumenstrom [l/s]
• r = Innenradius des Rohres [m]
• ΔP = Druckdifferenz zwischen den beiden Enden des betrachteten Rohrabschnittes
• η = dynamische Viskosität ("eta") des Fluids
• l = Länge des betrachteten Rohrabschnittes

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille besagt u.a., dass der Volumenstrom (Volumen abgeleitet nach der Zeit) direkt proportional zur Druckdifferenz und zur 4. Potenz des Innenradius ist. Das heißt: Verdoppelt man den Innenradius, so wächst die Stromstärke um den Faktor 2⁴ = 16. Daher spricht man umgangssprachlich auch vom "r⁴-Gesetz".

Das aus der Strömungslehre stammende Gesetz ist nur bedingt übertragbar auf Blutgefäße. Das Fluid ist das Blut, das allerdings keine Newton'sche Flüssigkeit ist. Blut ist eine inhomogene Suspension aus flüssigen und korpuskulären Bestandteilen, deren Viskosität η von weit mehr Faktoren abhängt, als nur von der Temperatur. Sie variiert zusätzlich in Abhängigkeit vom Hämatokrit und vom Plasmaproteingehalt sowie von den Strömungsbedingungen (siehe auch Virchow'sche Trias). Dennoch kann es annäherungsweise zur Berechnung der Hämodynamik herangezogen werden.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille demonstriert, dass sich bereits geringfügige Änderungen des Gefäßradius durch den Tonus der glatten Gefäßwandmuskulatur in hohem Maße auf die Durchblutung auswirken können.

Das Teilgebiet der Rheologie, das sich mit der Strömungsdynamik des Blutes befasst, ist die Hämorheologie.

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille ist physikalisch eine Sonderform des Ohm'schen Gesetzes:

${\displaystyle U=R\cdot I}$ bzw. ${\displaystyle I={\frac {U}{R}}}$

Dabei entspricht der Volumenstrom V/t der elektrischen Stromstärke I und die Druckdifferenz ΔP der elektrischen Spannung U. Der gesamte Rest der Formel definiert den Widerstand, der dem durchströmenden Fluid entgegengesetzt wird, und entspricht dem elektrischen Widerstand R. Genauer gesagt enthält das Hagen-Poiseuille-Gesetzt den Kehrwert des Widerstandes, also den Leitwert G:

${\displaystyle {\frac {r^{4}\cdot \pi }{8\cdot \eta \cdot l}}={\frac {1}{R}}=G}$ bzw. ${\displaystyle R={\frac {8\,\eta \,l}{r^{4}\pi }}}$

Zwischen den Gesetzen nach Ohm und Hagen-Poiseuille besteht folgender Zusammenhang:

${\displaystyle \overbrace {{\underset {{\underset {\text{-stärke}}{\text{Strom-}}}{\text{ [A]}}}{I}}={\frac {\underset {\text{Spannung [Volt]}}{U}}{\underset {\text{Widerstand [Ohm]}}{R}}}} ^{\text{Ohm'sches Gesetz: Elektrodynamik}}=\overbrace {{\underset {{\underset {\text{-strom}}{\text{Volumen-}}}[{\frac {m^{3}}{s}}]}{\dot {V}}}=\underbrace {\frac {\pi \cdot r^{4}}{8\cdot \eta \cdot l}} _{={\underset {\text{Leitwert}}{G}}={\frac {1}{R}}}*\underbrace {\Delta P{\vphantom {\frac {\text{Ein Felix Knop Masterpiece}}{\eta }}}} _{=U{\vphantom {\frac {d}{\eta }}}}{\vphantom {\frac {\underset {X}{X}}{\underset {X}{X}}}}={\frac {\underset {\text{Volumen [m³]}}{V}}{\underset {\text{Zeit [s]}}{t}}}={\underset {\text{Fläche [m²]}}{A}}*{\underset {\text{Geschw. [m/s]}}{\vec {v}}}} ^{\text{Hagen-Poiseuille-Gesetz: Fluiddynamik}}}$

Analog zeigt sich hier, dass der Widerstand mit der Viskosität η des Fluids und der Rohrlänge l zunimmt, mit Zunahme des Radius r jedoch um den Faktor der 4. Potenz abnimmt.