Bloch-Gleichung

Vektorielle Beschreibung

Die Magnetisierung wird als Vektor ${\displaystyle {\vec {M}}=(M_{x},M_{y},M_{z})}$ beschrieben. Ihre zeitliche Änderung ergibt sich aus zwei Einflüssen:

• Präzession im Magnetfeld
• Relaxationsprozesse (T1 und T2)

Bloch-Gleichung

Die allgemeine Form der Bloch-Gleichung lautet:

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma \left({\vec {M}}\times {\vec {B}}\right)-{\begin{pmatrix}{\frac {M_{x}}{T_{2}}}\ {\frac {M_{y}}{T_{2}}}\ {\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\end{pmatrix}}}$$

mit:

• ${\displaystyle {\vec {M}}}$ = Magnetisierungsvektor
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$ = Gesamtmagnetfeld (B₀ + B₁)
• ${\displaystyle \gamma }$ = gyromagnetisches Verhältnis
• ${\displaystyle T_{1}}$ = longitudinale Relaxationszeit
• ${\displaystyle T_{2}}$ = transversale Relaxationszeit
• ${\displaystyle M_{0}}$ = Gleichgewichtsmagnetisierung

Der Term ${\displaystyle \gamma ({\vec {M}}\times {\vec {B}})}$ beschreibt die Präzession der Magnetisierung um das Magnetfeld, während die Relaxationsterme die Rückkehr zum Gleichgewichtszustand modellieren.

Vereinfachte Darstellung

Ohne zusätzliche Magnetfelder (nur B₀) ergeben sich für die Relaxation:

• Longitudinalrichtung:
  $${\displaystyle {\frac {dM_{z}}{dt}}={\frac {M_{0}-M_{z}}{T_{1}}}}$$

  
• Transversalebene:
  $${\displaystyle {\frac {dM_{xy}}{dt}}=-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}}$$

  

Diese Gleichungen beschreiben die exponentielle Relaxation der Magnetisierung.

Die Bloch-Gleichungen sind die Grundlage für das Verständnis der MRT, da sie:

• die Dynamik der Magnetisierung beschreiben
• die Wirkung von Hochfrequenzpulsen modellieren
• die Relaxationsprozesse (T1, T2) mathematisch erfassen
• die Basis für die Entwicklung von MR-Sequenzen darstellen

Alle Sequenzparameter (z.B. Repetitionszeit und Echozeit) wirken über die in den Bloch-Gleichungen beschriebenen Prozesse.