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Zerfallsgesetz

Synonym: radioaktiver Zerfall
Englisch: law of decay

1 Definition

Das Zerfallsgesetz ist eine in der Physik verwendete Gleichung, die den exponentiellen Zerfall einer radioaktiven Substanz beschreibt.

2 Hintergrund

Grundsätzlich besteht ein Atomkern (Nuklid) aus Protonen und Neutronen, die im Zuge ihres Zusammenschlusses Bindungsenergie abgeben. Liegt eine für das Atom ungünstige Zahlenkombination von Neutronen und Protonen vor, so ensteht i.d.R. ein instabiler Kern (mit wenig Bindungsenergie). Dieser zerfällt anschließend durch einen radioaktiven Zerfall in eine andere und somit günstigere Konfiguration.

3 Herleitung

In der Atomphysik ist es möglich, vorherzusagen, wann genau wie viele Kerne eines bekannten radioaktiven Präparats in einer bestimmten Zeitspanne (Sekunden, Stunden, usw.) zerfallen werden. So bezeichnet man den Quotienten aus Anzahl ΔN und Zeitspanne Δt, die Zerfallsrate, als Aktivität A:

  • A = ΔN ÷ Δt
    SI-Einheit: 1/s (Becquerel, Bq)

Man weiß, dass die Aktivität A eines Präparats proportional zur Anzahl N der in ihm versammelten radioaktiven Atome und zugleich proportional zu deren Zerfallskonstanten λ ist - und zwar umgekehrt proportional zur Lebensdauer τ (Tau) = 1/λ. Somit ergibt sich für die Aktivität:

  • A = λ · N = N ÷ τ

Aufgrund der Aktivität nimmt N entsprechend als N(t) mit der Zeit (t) ab. Dies geschieht mit der Geschwindigkeit dN ÷ dt = -A (negatives Vorzeichen aufgrund von Abnahme!). Demnach gilt:

  • dN ÷ dt = -N(t) ÷ τ
Gesetz des radioaktiven Zerfalls:
N(t) = N0 · e(-t ÷ τ) = N0 · e(-λ · t)
Die exponentielle Funktion in Worten ausgedrückt: In gleichen Zeitspannen Δt geht N(t) vom Ausgangswert (N0) auf den gleichen Bruchteil hinunter - besonders in der Halbwertszeit T1/2 auf 1/2N0.
Halbwertszeit T1/2 = Lebensdauer τ · ln 2 = 0,6931 · τ

4 Kenngrößen

Das Gesetz des radioaktiven Zerfalls N(t) = N0 · e(-t ÷ τ) = N0 · e(-λ · t) beinhaltet folgende Kenngrößen:

  • mittlere Lebensdauer τ
  • Zerfallskonstante λ = 1/τ
  • Halbwertszeit T1/2 = τ · ln 2
  • Aktivität A(t) = dN/dt = N(t)/τ = λ · N(t) = Zerfallsrate (Einheit: Becquerel = Bq = 1/s)

5 Klinik

Radon-222 kommt in manchen Mauergesteinen vor, weshalb es kontinuierlich von dieser abgegeben werden kann. Somit kommt es vor, dass in schlecht belüfteten Zimmern eine bedenkliche Konzentration an Radon-222 enthalten ist. Wird es eingeatmet und zerfällt anschließend in das nicht mehr gasförmige Polonium-218, kann es vom Menschen nicht mehr ausgeatmet werden. Die Strahlung der restlichen Zerfallsreihe wird in das Lungengewebe abgegeben und kann hier zu Schädigungen führen.

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