Logistische Regression

Anders als die lineare Regression, die eine stetige Zielgröße modelliert, beschreibt die logistische Regression Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1.

Ziel ist es, den Einfluss mehrerer unabhängiger Variablen (Prädiktoren) auf ein binäres Ereignis zu bestimmen (z.B. "Wie beeinflussen Blutdruck, Alter und Laborwerte das Risiko für eine Komplikation?"). Das Modell bildet zunächst eine lineare Kombination der Prädiktoren:

$${\displaystyle \eta =\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+...+\beta _{k}x_{k}}$$

• η = linearer Prädiktor
• β₀ = y-Achsenabschnitt ("intercept"),
• β₁​, β₂​, …, β_k = Regressionskoeffizienten
• x₁​, x₂, …, x_k = unabhängigen Variablen (Prädiktoren)

Dieser lineare Prädiktor wird über die logistische Funktion in eine Wahrscheinlichkeit umgerechnet:

$${\displaystyle P(Y=1)={1 \over 1+e^{-\eta }}}$$

Hier steht P(Y=1) für die Wahrscheinlichkeit, dass das betrachtete Ereignis (z.B. "Komplikation") eintritt. Durch die logistische Funktion liegen alle berechneten Wahrscheinlichkeiten automatisch im Bereich zwischen 0 und 1.

Die logistische Funktion ist somit das Bindeglied zwischen der linearen Kombination der Einflussfaktoren und der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Die Regressionskoeffizienten (β) geben an, wie stark sich der Logit, also der Logarithmus der Wahrscheinlichkeiten, bei Veränderung einer Einflussgröße ändert.

Der Logit ist definiert als:

$${\displaystyle ln=({P(Y=1) \over 1-P(Y=1)})}$$

Er beschreibt die logarithmierte Wahrscheinlichkeit des Eintretens im Verhältnis zum Nicht-Eintreten eines Ereignisses.

Zur besseren Verständlichkeit werden die Ergebnisse häufig als Odds Ratios (OR) angegeben:

$${\displaystyle OR=e^{\beta }}$$

• OR > 1: erhöht die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
• OR < 1: verringert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Eine Odds Ratio von 2 bedeutet beispielsweise, dass sich die Odds – also das Verhältnis von Eintritts- zu Nichteintrittswahrscheinlichkeit – verdoppeln.

Für die Anwendung der logistischen Regression sollten folgende Bedingungen erfüllt sein:

• Die Beobachtungen sind voneinander unabhängig.
• Zwischen den Einflussvariablen besteht keine starke Korrelation (keine Multikollinearität).
• Der Zusammenhang zwischen einer kontinuierlichen Einflussgröße und dem Logit der Erfolgswahrscheinlichkeit sollte näherungsweise linear sein.
• Es liegt eine ausreichende Zahl an Ereignissen im Verhältnis zur Zahl der Prädiktoren vor.

Zur Beurteilung der Modellgüte werden verschiedene Kennwerte und Tests eingesetzt:

• AUC/ROC-Kurve: misst die Fähigkeit des Modells, Ereignis und Nicht-Ereignis zu trennen
• Hosmer–Lemeshow-Test: überprüft die Übereinstimmung von vorhergesagten und beobachteten Wahrscheinlichkeiten
• Sensitivität, Spezifität, Genauigkeit (Accuracy): bewerten die Klassifikationsleistung

Darüber hinaus wird häufig eine Validierung des Modells durchgeführt, um dessen Übertragbarkeit auf andere Stichproben zu prüfen.

Die logistische Regression findet in zahlreichen Disziplinen Anwendung, etwa in Medizin, Sozial-, Wirtschafts- oder Verhaltenswissenschaften. Sie dient der Analyse von Einflussfaktoren auf kategoriale Zielgrößen, der Risikoabschätzung und der Entwicklung von Vorhersagemodellen.

• Das Verfahren erlaubt keine kausalen Schlussfolgerungen, sondern beschreibt lediglich statistische Zusammenhänge.
• Bei zu wenigen Ereignissen im Verhältnis zur Zahl der Variablen kann es zu instabilen Schätzungen (Overfitting) kommen.
• Odds Ratios dürfen nicht direkt als Risiken interpretiert werden, da sie bei häufigen Ereignissen abweichen können.
• Verletzungen der Modellannahmen, etwa Nichtlinearität im Logit oder starke Korrelationen, können die Aussagekraft einschränken.

• Hosmer et al., Applied Logistic Regression, 3. Auflage, Wiley, 2013
• Schober und Vetter, Logistic Regression in Medical Research, Anesth Analg, 2021
• IBM - What is Logistic Regression?, abgerufen am 29.10.2025