Fourier-Transformation

Ein digitales Bild besteht aus vielen Pixeln. Jeder Pixel enthält einen Zahlenwert, der die gemessene Signalstärke beschreibt. Dieser Wert wird als Grauwert dargestellt. Er entspricht je nach Bildgebungsverfahren einer physikalischen Messgröße, z.B. der Schwächung von Röntgenstrahlung in der Computertomographie oder der Signalintensität in der Magnetresonanztomographie. Betrachtet man diese Zahlenwerte entlang einer Linie durch das Bild, dann erhält man einen Intensitätsverlauf. Auch ein komplizierter Intensitätsverlauf lässt sich als Summe vieler einfacher periodischer Schwingungen beschreiben. Solche periodischen Schwingungen sind insbesondere Sinus- und Kosinusfunktionen. Eine anschauliche Analogie ist ein musikalischer Klang. Ein einzelner Ton klingt für das Ohr wie ein einziges Geräusch, physikalisch besteht er aber meist aus einer Grundfrequenz und mehreren Obertönen. Die Fourier-Transformation zerlegt diesen Klang in seine einzelnen Frequenzanteile. Dasselbe Prinzip lässt sich auch auf Bildsignale anwenden. In der Bildgebung spricht man nicht nur von Frequenzen im zeitlichen Sinn, sondern von räumlichen Frequenzen. Sie beschreiben, wie schnell sich die Bildintensität über eine bestimmte Strecke verändert:

• niedrige räumliche Frequenzen: entsprechen großen, langsam wechselnden Strukturen im Bild. Dazu gehören beispielsweise homogene Organflächen oder großflächige Helligkeitsverteilungen.
• hohe räumliche Frequenzen: entsprechen schnellen Intensitätsänderungen über kurze Distanzen. Dazu gehören feine Details, scharfe Kanten, kleine Gefäße oder Knochenränder.

Ein Bild lässt sich daher als Überlagerung vieler räumlicher Frequenzen verstehen. Die Fourier-Transformation zerlegt das Bild mathematisch in diese einzelnen Frequenzanteile. Die Zerlegung eines Bildes in räumliche Frequenzen ist deshalb nützlich, weil sich viele Eigenschaften eines Bildes im Frequenzraum leichter beschreiben und gezielt beeinflussen lassen als im Ortsraum. Hohe räumliche Frequenzen sind eng mit der Ortsauflösung verknüpft. Werden sie verstärkt, wirkt ein Bild schärfer; werden sie abgeschwächt, gehen feine Details verloren. Bildrauschen enthält häufig ebenfalls hohe Frequenzanteile. Durch geeignete Filterung kann man deshalb Rauschen reduzieren, allerdings oft auf Kosten der Detailerkennbarkeit. Die Fourier-Darstellung ist damit ein zentrales Werkzeug, um den Zusammenhang zwischen Schärfe, Bildrauschen und Artefakten zu verstehen.

Mathematisch wird ein kontinuierliches Signal f(x) durch seine Fourier-Transformation F(k) beschrieben:

$${\displaystyle F(k)={\displaystyle \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}}f(x)e^{-i2\pi kx}dx}$$

mit:

• f(x) – Signal im Orts- oder Zeitbereich
• F(k) – Darstellung im Frequenzbereich
• k – räumliche oder zeitliche Frequenz

Die Fourier-Transformation liefert also zu jeder Frequenz die Information, wie stark diese Frequenz im Signal enthalten ist. Die ursprüngliche Funktion kann anschließend durch die inverse Fourier-Transformation wieder zurückgewonnen werden. Ortsraum und Frequenzraum sind daher nur zwei verschiedene Darstellungen derselben Information.

In der medizinischen Bildgebung arbeitet man nicht mit kontinuierlichen, sondern mit digital erfassten Signalen. Ein digitales Bild besteht aus endlich vielen Pixeln, also aus diskreten Messpunkten. Deshalb wird in der Praxis meist nicht die kontinuierliche Fourier-Transformation verwendet, sondern die diskrete Fourier-Transformation (DFT).

Die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein effizienter Rechenalgorithmus zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation. Das ist wichtig, weil die direkte Berechnung der DFT bei großen Datenmengen sehr rechenaufwendig wäre.

Die Fourier-Transformation ist ein zentrales mathematisches Werkzeug in vielen bildgebenden Verfahren. Sie wird sowohl bei der Bildrekonstruktion als auch bei der Bildverarbeitung eingesetzt.

In der Magnetresonanztomographie werden die Messdaten zunächst nicht als fertiges Bild gespeichert, sondern im k-Raum. Der k-Raum enthält die räumlichen Frequenzen des späteren Bildes. Die Mitte des k-Raums enthält vor allem niedrige räumliche Frequenzen und damit Informationen über grobe Kontraste und große Strukturen. Die Peripherie des k-Raums enthält hohe räumliche Frequenzen und damit Informationen über feine Details und Kanten. Das eigentliche MR-Bild entsteht erst durch eine Fourier-Transformation der k-Raum-Daten in den Ortsraum.

Auch in der Computertomographie spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle bei der mathematischen Beschreibung der Rekonstruktion. Die gemessenen Projektionsdaten können im Frequenzraum analysiert und gefiltert werden. Bei der Filtered Back Projection werden die Projektionsdaten zunächst frequenzabhängig gewichtet, bevor daraus das Schnittbild rekonstruiert wird.

Die Fourier-Transformation steht in engem Zusammenhang mit Faltung (Signalverarbeitung) und Filter (Signalverarbeitung). Dieser Zusammenhang ist für die Bildgebung besonders wichtig. Ein Filter verändert bestimmte Frequenzanteile eines Signals gezielt. So können z.B. hohe Frequenzen verstärkt werden, um Kanten zu betonen, oder abgeschwächt werden, um Rauschen zu verringern. Mathematisch ist dabei besonders der Faltungssatz relevant. Er besagt, dass eine Faltung im Ortsraum einer Multiplikation im Frequenzraum entspricht. Dadurch lassen sich viele Filterprozesse rechnerisch besonders effizient im Frequenzraum durchführen.

Die Analyse eines Signals im Frequenzraum erlaubt die gezielte Beeinflussung verschiedener Bildparameter, z.B.:

• Eine gute Darstellung hoher räumlicher Frequenzen verbessert die Detailerkennbarkeit und damit die Ortsauflösung.
• Eine Unterdrückung hoher Frequenzen kann das Rauschen reduzieren, führt aber oft auch zu Unschärfe.
• Bestimmte Artefakte können als Störungen in charakteristischen Frequenzbereichen erkannt und teilweise gezielt reduziert werden.

Die Fourier-Transformation ist deshalb nicht nur ein abstraktes mathematisches Verfahren, sondern ein grundlegendes Werkzeug zum Verständnis von Bildschärfe, Kontrast, Rauschen und Rekonstruktion in der Radiologie.