Faltung (Signalverarbeitung)

Die Faltung beschreibt, wie sich ein Signal verändert, wenn es durch ein bestimmtes System oder einen Filter verarbeitet wird. In der Bildverarbeitung wird sie verwendet, um gezielt bestimmte Eigenschaften eines Bildes zu verändern, beispielsweise Schärfe, Kontrast oder Rauschanteile. Das Prinzip lässt sich anschaulich so verstehen:

Ein kleiner Filterkern wird schrittweise über ein Bild bewegt. An jeder Position werden die Pixelwerte im Umfeld eines Pixels mit den Gewichten des Filters multipliziert und anschließend aufsummiert. Das Ergebnis ersetzt den ursprünglichen Pixelwert. Auf diese Weise wird jeder Bildpunkt auf Grundlage seiner Nachbarschaft neu berechnet. Dadurch lassen sich bestimmte Bildstrukturen verstärken oder unterdrücken.

Für ein eindimensionales Signal f(x) und eine Filterfunktion g(x) ergibt sich die Faltung h(x) zu:

$${\displaystyle h(x)=(f\times g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(x-\tau )\,d\tau }$$

• f(x): Eingangssignal
• g(x): Filterfunktion (Kernel)
• h(x): gefaltetes Signal (Ausgangssignal)

In digitalen Bildverarbeitungssystemen wird statt der kontinuierlichen Faltung meist eine diskrete Version verwendet, bei der die Berechnung über endlich viele Pixel erfolgt.

Bei digitalen Bildern wird die Faltung typischerweise mit kleinen Filtermatrizen durchgeführt. Diese Filter werden auch als Kernel bezeichnet. Ein einfacher Glättungsfilter kann beispielsweise folgendermaßen aussehen:

$${\displaystyle {\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}}$$

• Kantendetektion
• Bildschärfung
• Rauschreduktion

Die Faltung besitzt einen wichtigen Zusammenhang mit der Fourier-Transformation. Dieser Zusammenhang wird als Faltungssatz bezeichnet. Der Faltungssatz besagt: Eine Faltung im Ortsraum entspricht einer Multiplikation im Frequenzraum. Das bedeutet, dass viele Filteroperationen rechnerisch effizienter durchgeführt werden können, indem man ein Signal zunächst in den Frequenzraum transformiert, dort die Frequenzen verändert und anschließend wieder zurücktransformiert. Dieser Zusammenhang ist ein zentraler Bestandteil vieler Verfahren der Bildverarbeitung und Bildrekonstruktion.

Die Faltung spielt in mehreren Bereichen der medizinischen Bildgebung eine wichtige Rolle. In der Computertomographie wird sie beispielsweise bei der Filtered Back Projection verwendet. Dabei werden die gemessenen Projektionsdaten zunächst mit einem speziellen Filter gefaltet, bevor aus ihnen das Schnittbild rekonstruiert wird. Auch in der digitalen Bildverarbeitung radiologischer Bilder werden Faltungen eingesetzt, etwa zur:

• Verbesserung der Ortsauflösung
• Reduktion von Bildrauschen
• Hervorhebung von Kantenstrukturen

Die Faltung ist daher ein grundlegendes mathematisches Werkzeug für viele Prozesse der Bildrekonstruktion und Bildverarbeitung in der Radiologie.