Radon-Transformation

Bei der Radon-Transformation wird ein Objekt nicht direkt als Bild dargestellt, sondern durch die Summe seiner Werte entlang vieler Geraden im Raum. Jede dieser Geraden entspricht einer Projektion unter einem bestimmten Winkel. Formal wird die Radon-Transformation einer Funktion f(x,y) definiert als:

$${\displaystyle R(\theta ,s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,ds}$$

mit:

• ${\displaystyle \theta }$: Projektionswinkel
• s: Abstand der Geraden vom Ursprung
• R(${\displaystyle \theta }$, s): gemessene Projektion (Linienintegral)

Die Gesamtheit aller Projektionen für verschiedene Winkel ergibt ein sogenanntes Sinogramm.

In der Computertomographie entsprechen die gemessenen Projektionsdaten den Radon-Transformierten der räumlichen Schwächungsverteilung des Körpers. Die Rekonstruktion eines Schnittbildes besteht mathematisch in der Inversion der Radon-Transformation. Wichtige Verfahren hierfür sind:

• Filtered Back Projection
• Iterative Rekonstruktion

Diese Algorithmen berechnen aus den Projektionsdaten die ursprüngliche Verteilung der linearen Schwächungskoeffizienten im Gewebe.

Die Radon-Transformation steht in engem Zusammenhang mit der Fourier-Transformation. Nach dem Fourier-Slice-Theorem entspricht die eindimensionale Fourier-Transformation einer Projektion einem Schnitt durch die zweidimensionale Fourier-Transformierte des Objekts.

Dieses Theorem bildet die Grundlage vieler Rekonstruktionsalgorithmen in der CT.