SIR-Modell

Ein SIR-Modell ist ein mathematischer Formalismus zur Beschreibung der Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das für verschiedene Untergruppen der Population angewandt wird.

1 Kompartimente

Hier bezeichnet S den Pool der nicht-infizierten, empfindlichen (susceptible) Personen, I die Gruppe der Infizierten und R die Untergruppe der Geheilten (recovered), die also eine Immunität gegen die Erkrankung erlangt haben. Die Gesamtpopulation wird mit N bezeichnet. S(t), I(t) und R(t) stehen für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkte t, S(0), I(0) und R(0) für die entsprechenden Populationen zu Beginn der Epidemie, wenn also I(0) = 1 (der sog. Indexpatient).

Es gilt also

 S(t) + I(t) + R(t) = N.

2 Differentialgleichungen für den zeitlichen Verlauf

Die Änderungsraten der einzelnen Kompartimente sind mit

 dS/dt = -alpha * S * I

 dI/dt = alpha * S * I - beta * I

 dR/dt = beta * I

definiert.

Damit ergibt sich

 S(t) = S(0) * e-alpha / beta * R(t)

3 Basale Reproduktionszahl

Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die basale Reproduktionszahl R₀, die sich mit

 R0 = alpha / beta * S(0)

bestimmt. R₀ repräsentiert die mittlere Anzahl an sekundären Infektionen, die eine erkrankte Person in einer empfindlichen Population auslösen kann.

4 Literatur

• Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712
• Bazett T: The MATH of Epidemics | Intro to the SIR Model, Video (11. März 2020).