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SIR-Modell: Unterschied zwischen den Versionen

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Hier bezeichnet ''S'' den Pool der nicht-infizierten, empfindlichen (''susceptible'') Personen, ''I'', die Gruppe der Infizierten und ''R'' die Untergruppe der Geheilten (''recovered''), die also eine Immunität gegen die Erkrankung erlangt haben. Die Gesamtpopulation wird mit ''N'' bezeichnet. ''S''(''t''), ''I''(''t'') und ''R''(''t'') stehen für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkte ''t'', ''S''(0), ''I''(0) und ''R''(0) für die entsprechenden Populationen zu Beginn der [[Epidemie]], wenn also ''I''(0) = 1 (der sog. [[Indexpatient]]).
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Hier bezeichnet ''S'' den Pool der nicht-infizierten, empfindlichen (''susceptible'') Personen, ''I'' die Gruppe der Infizierten und ''R'' die Untergruppe der Geheilten (''recovered''), die also eine Immunität gegen die Erkrankung erlangt haben. Die Gesamtpopulation wird mit ''N'' bezeichnet. ''S''(''t''), ''I''(''t'') und ''R''(''t'') stehen für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkte ''t'', ''S''(0), ''I''(0) und ''R''(0) für die entsprechenden Populationen zu Beginn der [[Epidemie]], wenn also ''I''(0) = 1 (der sog. [[Indexpatient]]).
  
 
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Version vom 9. April 2020, 13:13 Uhr

Ein SIR-Modell ist ein mathematischer Formalismus zur Beschreibung der Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das für verschiedene Untergruppen der Population angewandt wird.

1 Kompartimente

Hier bezeichnet S den Pool der nicht-infizierten, empfindlichen (susceptible) Personen, I die Gruppe der Infizierten und R die Untergruppe der Geheilten (recovered), die also eine Immunität gegen die Erkrankung erlangt haben. Die Gesamtpopulation wird mit N bezeichnet. S(t), I(t) und R(t) stehen für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkte t, S(0), I(0) und R(0) für die entsprechenden Populationen zu Beginn der Epidemie, wenn also I(0) = 1 (der sog. Indexpatient).

Es gilt also

 S(t) + I(t) + R(t) = N.

2 Differentialgleichungen für den zeitlichen Verlauf

Die Änderungsraten der einzelnen Kompartimente sind mit

 dS/dt = -alpha * S * I


 dI/dt = alpha * S * I - beta * I


 dR/dt = beta * I


definiert.

Damit ergibt sich

 S(t) = S(0) * e-alpha / beta * R(t)

3 Basale Reproduktionszahl

Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die basale Reproduktionszahl R0, die sich mit

 R0 = alpha / beta * S(0)


bestimmt. R0 repräsentiert die mittlere Anzahl an sekundären Infektionen, die eine erkrankte Person in einer empfindlichen Population auslösen kann.

4 Literatur

  • Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712
  • Bazett T: The MATH of Epidemics | Intro to the SIR Model, Video (11. März 2020).

Diese Seite wurde zuletzt am 16. August 2020 um 17:50 Uhr bearbeitet.

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