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SIR-Modell: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''SIR-Modell''' ist ein mathematischer Formalismus zur Beschreibung der Entwicklung von [[Infektionskrankheit]]en in der Bevölkerung. Es beruht auf einem [[Compartment-Analyse|compartment-analytischen]] [[Modell]], das für verschiedene Untergruppen der Population angewandt wird.
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==Definition==
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Das '''SIR-Modell''' beschreibt in der mathematischen [[Epidemiologie]] die Entwicklung von [[Infektionskrankheit]]en in der Bevölkerung. Es beruht auf einem [[Compartment-Analyse|compartment-analytischen]] [[Modell]], das die [[Population]] in verschiedene Untergruppen einteilt.
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==Voraussetzungen==
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Das SIR-Modell ist eine Erweiterung des [[SI-Modell]]s. Es kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
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* Jedes Individuum kann nur einmal infiziert werden und wird danach [[Immunität|immun]] oder stirbt.
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* Infizierte sind sofort ansteckend.
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* Gesunde erkranken mit der linearen Rate β.
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* Infizierte genesen mit der linearen Rate  γ.
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* Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit.
  
 
==Kompartimente==
 
==Kompartimente==
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Das SIR-Modell unterscheidet zwischen drei Gruppen:
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* Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
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* Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
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* Die Gruppe "R" ("removed individuals"): Personen, die nicht mehr infiziert werden können (immun oder verstorben)
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* Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t) + R(t)
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* S(t), I(t) oder R(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", z.B. I(0) für die Infizierten zu Beginn der [[Epidemie]].
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* Der [[Indexpatient]] wird also als I(0) = 1 definiert.
  
Hier bezeichnet ''S'' den Pool der nicht-infizierten, empfindlichen (''susceptible'') Personen, ''I'', die Gruppe der Infizierten und ''R'' die Untergruppe der Geheilten (''recovered''), die also eine Immunität gegen die Erkrankung erlangt haben. Die Gesamtpopulation wird mit ''N'' bezeichnet. ''S''(''t''), ''I''(''t'') und ''R''(''t'') stehen für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkte ''t'', ''S''(0), ''I''(0) und ''R''(0) für die entsprechenden Populationen zu Beginn der [[Epidemie]], wenn also ''I''(0) = 1 (der sog. [[Indexpatient]]).
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==Berechnungen==
 
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Als µ wird die allgemeine Sterberate pro Person einer Population und als ν die Geburtsrate pro Person einer Population bezeichnet.
Es gilt also
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* ΔS/Δt = νN - β (SI/N) - γS
 
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* ΔI/Δt = β (SI/N) - γI - µI
  ''S''(''t'') + ''I''(''t'') + ''R''(''t'') = ''N''.
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* ΔR/Δt = γI - µR
 
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==Differentialgleichungen für den zeitlichen Verlauf==
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Die Änderungsraten der einzelnen Kompartimente sind mit
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  ''dS''/''dt'' = -''alpha'' * ''S'' * ''I''
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  ''dI''/''dt'' = ''alpha'' * ''S'' * ''I'' - ''beta'' * ''I''
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  ''dR''/''dt'' = ''beta'' * ''I''
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definiert.
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Da β von der Wahrscheinlichkeit einer Infektionsübertragung bei Kontakt q und mit der Kontaktrate κ abhängt, gilt:
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* β = q κ
  
Damit ergibt sich
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Die Infektionsrate λ, also die Wahrscheinlichkeit pro Zeit, dass eine Gesunde Person infiziert wird, ist:
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* λ = β I/N
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* Also werden λS Personen pro Zeiteinheit infiziert.
  
  ''S''(''t'') = ''S''(0) * e<sup>-''alpha'' / ''beta'' * ''R''(''t'')</sup>
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Wenn die Geburts- und Sterberaten konstant sind (µ = ν = 0) ergeben sich folgende Gleichungen:
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* ΔS/Δt = - β SI/N
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* ΔI/Δt = β (SI/N) - γI
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* ΔR/Δt = γI
  
==Basale Reproduktionszahl==
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==Basisreproduktionszahl==
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Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die [[Basisreproduktionszahl]]:
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* R<sub>0</sub> = β / γ
  
Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die basale Reproduktionszahl ''R''<sub>0</sub>, die sich mit
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Sie gibt an, wie viele weitere Infizierte eine infizierte Person am Anfang der Epidemie (also wenn kein Mitglied der Population immun ist) verursacht. Sobald S den Wert von δ = N/R<sub>0</sub> unterschreitet, nimmt das Wachstum der Infizierten ab (Abflauen der Epidemie). Der Wert δ ist bei einer R<sub>0</sub> von 2 ungefähr bei der Hälfte, bei R<sub>0</sub> von 3 bei zwei Drittel der Bevölkerung erreicht.
  
  ''R''<sub>0</sub> = ''alpha'' / ''beta'' * ''S''(0)
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==Anwendung==
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SIR-Modelle lassen sich gut für die Modellierung von Erkrankungen anwenden, bei denen im Laufe der Infektion eine Immunität erreicht wird, was z.B. für viele [[Virusinfekt]]e gilt.
  
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Mit Hilfe des SIR-Modells lässt sich auch vorhersagen, ob eine Infektionserkrankung voraussichtlich in einer Epidemie münden wird.
  
bestimmt. ''R''<sub>0</sub> repräsentiert die mittlere Anzahl an sekundären Infektionen, die eine erkrankte Person in einer empfindlichen Population auslösen kann.
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==Varianten==
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* [[SI-Modell]]: Ansteckung ohne Gesundung
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* [[SIS-Modell]]: Ausbreitung ohne Immunitätsbildung
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* [[SEIR-Modell]]: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, Infizierte sind nicht sofort infektiös
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* [[SIRD-Modell]]: berücksichtigt die immunen und die verstorbenen Personen in zwei separaten Gruppen
  
 
==Literatur==
 
==Literatur==
* Robeva RS, Kirkwood JR, Davies RL, Farhy LS, Johnson ML, Kovatchev BP, Straume M: An Invitation to Biomathematics. Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008. ISBN 9780120887712
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* Robeva RS et al. An Invitation to Biomathematics, Academic Press, Burlington, MA, San Diego, CA, 2008, ISBN 9780120887712
* Bazett T: [https://youtu.be/Qrp40ck3WpI The MATH of Epidemics | Intro to the SIR Model], Video (11. März 2020).
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* Bazett T. [https://youtu.be/Qrp40ck3WpI The MATH of Epidemics, Intro to the SIR Model], Video, 11. März 2020.
 
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[[Fachgebiet:Gesundheitswesen]]
 
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[[Fachgebiet:Virologie]]
 
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[[Tag:Epidemiologie]]
 
[[Tag:Epidemiologie]]
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[[Tag:Infektion]]
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[[Tag:R0]]

Aktuelle Version vom 16. August 2020, 17:50 Uhr

1 Definition

Das SIR-Modell beschreibt in der mathematischen Epidemiologie die Entwicklung von Infektionskrankheiten in der Bevölkerung. Es beruht auf einem compartment-analytischen Modell, das die Population in verschiedene Untergruppen einteilt.

2 Voraussetzungen

Das SIR-Modell ist eine Erweiterung des SI-Modells. Es kann für Krankheiten verwendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

  • Jedes Individuum kann nur einmal infiziert werden und wird danach immun oder stirbt.
  • Infizierte sind sofort ansteckend.
  • Gesunde erkranken mit der linearen Rate β.
  • Infizierte genesen mit der linearen Rate γ.
  • Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit.

3 Kompartimente

Das SIR-Modell unterscheidet zwischen drei Gruppen:

  • Als Gruppe "S" ("susceptible individuals") werden die nicht-infizierten, empfindlichen Personen zusammengefasst.
  • Die Gruppe "I" ("infectious individuals") bezeichnet die Gruppe der Infizierten.
  • Die Gruppe "R" ("removed individuals"): Personen, die nicht mehr infiziert werden können (immun oder verstorben)
  • Die Gesamtpopulation wird mit "N" bezeichnet: N = S(t) + I(t) + R(t)
  • S(t), I(t) oder R(t) steht für die jeweilige Poolgröße zum Zeitpunkt "t", z.B. I(0) für die Infizierten zu Beginn der Epidemie.
  • Der Indexpatient wird also als I(0) = 1 definiert.

4 Berechnungen

Als µ wird die allgemeine Sterberate pro Person einer Population und als ν die Geburtsrate pro Person einer Population bezeichnet.

  • ΔS/Δt = νN - β (SI/N) - γS
  • ΔI/Δt = β (SI/N) - γI - µI
  • ΔR/Δt = γI - µR

Da β von der Wahrscheinlichkeit einer Infektionsübertragung bei Kontakt q und mit der Kontaktrate κ abhängt, gilt:

  • β = q κ

Die Infektionsrate λ, also die Wahrscheinlichkeit pro Zeit, dass eine Gesunde Person infiziert wird, ist:

  • λ = β I/N
  • Also werden λS Personen pro Zeiteinheit infiziert.

Wenn die Geburts- und Sterberaten konstant sind (µ = ν = 0) ergeben sich folgende Gleichungen:

  • ΔS/Δt = - β SI/N
  • ΔI/Δt = β (SI/N) - γI
  • ΔR/Δt = γI

5 Basisreproduktionszahl

Eine entscheidende Größe für den Verlauf der Erkrankung ist die Basisreproduktionszahl:

  • R0 = β / γ

Sie gibt an, wie viele weitere Infizierte eine infizierte Person am Anfang der Epidemie (also wenn kein Mitglied der Population immun ist) verursacht. Sobald S den Wert von δ = N/R0 unterschreitet, nimmt das Wachstum der Infizierten ab (Abflauen der Epidemie). Der Wert δ ist bei einer R0 von 2 ungefähr bei der Hälfte, bei R0 von 3 bei zwei Drittel der Bevölkerung erreicht.

6 Anwendung

SIR-Modelle lassen sich gut für die Modellierung von Erkrankungen anwenden, bei denen im Laufe der Infektion eine Immunität erreicht wird, was z.B. für viele Virusinfekte gilt.

Mit Hilfe des SIR-Modells lässt sich auch vorhersagen, ob eine Infektionserkrankung voraussichtlich in einer Epidemie münden wird.

7 Varianten

  • SI-Modell: Ansteckung ohne Gesundung
  • SIS-Modell: Ausbreitung ohne Immunitätsbildung
  • SEIR-Modell: Ausbreitung mit Immunitätsbildung, Infizierte sind nicht sofort infektiös
  • SIRD-Modell: berücksichtigt die immunen und die verstorbenen Personen in zwei separaten Gruppen

8 Literatur

Diese Seite wurde zuletzt am 16. August 2020 um 17:50 Uhr bearbeitet.

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